Новый ЛИЦЕЙ

Оригамское решение (исследование)

Задача (а).

1 шаг. Возьмём квадратный лист бумаги ABCD (рис. 1).

2 шаг. Сложим бумажный лист пополам, сторона AB к стороне CD .

3 шаг. Развернём образовавшуюся серединную складку QP (рис. 2).

4 шаг. Загнём бумагу по линии AF таким образом, чтобы вершина D наложилась на линию QP (рис. 3).

5 шаг. Вывод : L ADF прямоугольный, т.к. L A - угол квадрата.

6 шаг. Отметим точку N на отрезке QP совпадающую с точкой D при наложении.

7 шаг. Треугольник ADF равен треугольнику ANF т.к. совпали при наложении, и L DAF = L NAF .

8 шаг. Загнём треугольник с вершиной B по линии AK поверх треугольника ADF (рис.4).

9 шаг. Образовавшиеся три угла при вершине A при наложении совпадают, следовательно равны 1\3 части LА, т. е. 30 о . Вывод L DAF=30 о

10 шаг. Развернём угол квадрата В. 11 шаг. Загнём по линии ОМ бумагу так, чтобы угол В А O совпадал с углом D F О (рис. 5,6) и сделаем вывод , что L DFA =L BAF = 60, как 2/3 LА квадрата. Второй вывод , что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90, у нас один угол равен 30, следовательно другой - 60.

12 шаг. Отменим предыдущую операцию. Точка О делит отрезок AF пополам (по построению).

13 шаг. Отогнём вершину L D по линии FL . Точка D совпала с точкой О, т.е DF = FO =1/2 AF (рис. 7).

Вывод: в прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 о лежит катет, равный половине гипотенузы.

Задача (б).

14 шаг. Опустим из вершины прямого угла D высоту на гипотенузу AF для этого перегнем бумагу по линии DH так, чтобы нижние края совместились, т.е. образовали угол 90, следовательно DH – высота, причём точка F совпадёт с точкой O .

15 шаг. Треугольник ODH будет равнобедренным, OH = HF =1/4 AF .

16 шаг. Вывод: высота, опушенная из прямого угла прямоугольного треугольника с углом в 30, отсекает 1/4 часть гипотенузы, начиная от вершины большого угла, а медиана равна катету, лежащему против угла в 30.

17 шаг . Треугольник ODF – равносторонний.

18 шаг. Вывод: медиана и высота, проведённые из прямого угла в прямоугольном треугольнике с углом в 30 о , делят угол на три равных угла по 30. 19 шаг. Биссектриса L ADF разделит так же и L ODH пополам, т.е. угол между высотой и медианой (легко проверить, сложив угол пополам). Вывод биссектриса, проведенная из прямого угла в треугольнике с углом в 30, является биссектрисой угла между медианой и высотой проведенной из этого же угла (рис. 8).

20 шаг. Развернем квадрат – складки образуют 3 равных треугольника (рис.9).

Вывод из задачи.

Данным способом можно делить прямой угол и сторону квадрата на три равных части. Точка L производит это деление.

LO = 1/2 LF (т.к. D LOF – прямоугольный с углом в 30), LF = LA (т.к. треугольник ALF - равнобедренный по признаку равенства двух углов), следовательно DL = 1/3 DA (рис.7)

Оригамское решение

1 шаг. Возьмем и вырежем из бумаги произвольный треугольник. Обозначим его вершины A , B , C . За угол B можно принять любой произвольный угол (тупой, острый или прямой).

2 шаг. Разделим L ABC пополам, совместим линии сторон BC и BA , намеченная линия сгиба и есть биссектриса (BK), т.к. углы при наложении совпадут.

3 шаг. Необходимо на стороне BC найти местоположение для точки M , зная, что BM = MK; т.е. она должна быть равноудалена от точек B и K и, следовательно, находится на серединном перпендикуляре к отрезку BK. Совместим точки B и K и замнём складку, она будет являться серединным перпендикуляром и пересечёт сторону BC в искомой точке M.

4 шаг. Наметим линию MK .

5 шаг. Чтобы доказать, что KM || AB , необходимо через любую точку между K и C перегнуть треугольник так, чтобы сторона AB совместилась по своему краю. Заметим, сто при этом части отрезка MK наложатся друг на друга (две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны).

Идея решения задачи: Если рассмотреть точку пересечения серединного перпендикуляра со стороной AB , то легко доказать, что образовавшаяся фигура KMBW – ромб. При сложении по линиям BK и WM последовательно все 4 треугольника совпадут. Из свойств ромба делаем вывод, что WB = AB || KM .

Дано: Треугольник АВС: ВК – биссектриса, ВМ = МК

Доказать: КМ||АВ.

Доказательство:

L АВК = L КВМ (по определению биссектрисы)

L КВМ = L ВКМ (по свойству углов при основании равнобедренного треугольника)

По транзитивности имеем, L АВК = L ВКМ, данные углы являются накрест лежащими при прямых АВ и КМ секущей ВК, т. к. они равны, то по признаку параллельных прямых имеем КМ||АВ. Что и требовалось доказать.